1502: [NOI2005]月下柠檬树

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Description

Input

文件的第1行包含一个整数n和一个实数alpha，表示柠檬树的层数和月亮的光线与地面夹角(单位为弧度)。第2行包含n+1个实数h0,h1,h2,…,hn，表示树离地的高度和每层的高度。第3行包含n个实数r1,r2,…,rn，表示柠檬树每层下底面的圆的半径。上述输入文件中的数据，同一行相邻的两个数之间用一个空格分隔。输入的所有实数的小数点后可能包含1至10位有效数字。

Output

输出1个实数，表示树影的面积。四舍五入保留两位小数。

Sample Input

2 0.7853981633

10.0 10.00 10.00

4.00 5.00

Sample Output

171.97

HINT

 

1≤n≤500，0.3

 

Source

 

 

求一棵树(圆锥加圆台组成)在平面上的投影的面积。

给定投影角度(0.3 < alpha <= pi/2)。

先来想想圆的投影是什么样子

还是他自己。

再想圆锥投影是什么样子

一个点加一个圆，并且有这个点与该圆的两条切线(该点在圆内部时没有切线)

再想圆台

两个圆，加上两个圆的外公切线组成的一坨图形。

不妨随意画一个。

好难画- -!

大概就转化成这个样子了。

观察这个图形…

轴对称啊- -!

首先AC长是圆心距，可求。

AI长是半径差，可求。

所以CI可求。

连接FC，观察△FAC

2*S△FAC=FG*AC=CI*AF

AF为半径，已知。

所以FG可求。

于是AG可求。

A点坐标已知，所以F点坐标已知。

E点，直接相似即可。

或者用射影定理求EF

概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

 

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

#include
       
        #include
        
         #include
         
          #define pf(x) ((x)*(x))using namespace std;const int N=2000+5;const double eps=1e-6;typedef pair
          
            point;typedef pair
           
             circle;struct line{    point s,t;    double k,b;    line(){}    line(point _s,point _t){        s=_s;t=_t;        k=(s.second-t.second)/(s.first-t.first);        b=s.second-s.first*k;    }    const double f(const double x){        return k*x+b;    }};int n,n1;double alpha,H[N];point p;line L[N];circle C[N];double lb=2e9,rb;double sina,cosa,tana;inline void add(const circle &a,const circle &b){    n1++;    sina=(a.second-b.second)/(b.first-a.first);    cosa=sqrt(1-pf(sina));    tana=sina/cosa;    L[n1].s=make_pair(a.first+a.second*sina,a.second*cosa);    L[n1].t=make_pair(b.first+b.second*sina,b.second*cosa);    L[n1].k=-tana;    L[n1].b=L[n1].s.second-L[n1].s.first*L[n1].k;}inline const double F(const double x){    double re=0;    for(int i=1;i<=n1;i++) if(x>=L[i].s.first&&x<=L[i].t.first) re=max(re,L[i].f(x));    for(int i=1;i<=n;i++) if(x>=C[i].first-C[i].second&&x<=C[i].first+C[i].second) re=max(re,sqrt(pf(C[i].second)-pf(x-C[i].first)));    return re;}inline const double simpson(const double l,const double r){    double mid=(l+r)/2;    return (F(l)+F(r)+4*F(mid))*(r-l)/6;}inline double asr(double l,double r,double eps,double last){    double mid=(l+r)/2;    double L=simpson(l,mid),R=simpson(mid,r);    if(fabs(L+R-last)<=15*eps) return L+R+(L+R-last)/15;    return asr(l,mid,eps/2,L)+asr(mid,r,eps/2,R);}inline int cmp(const double x){    if(fabs(x)
            
             0?1:-1;}int main(){ scanf("%d%lf",&n,&alpha); for(int i=1;i<=n+1;i++) scanf("%lf",&H[i]),H[i]+=H[i-1]; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&C[i].second); double ta=tan(alpha); p=make_pair(H[n+1]/ta,0);rb=max(rb,p.first); double x,r,l,h; C[n].first=H[n]/ta; x=C[n].first;r=C[n].second; lb=min(lb,x-r); rb=max(rb,x+r); if(x+r
             
              0)//内含 add(C[i],C[i+1]); } printf("%.2lf\n",2*asr(lb,rb,eps,simpson(lb,rb))); return 0;}